합성수 편집하기 (부분)

== 특징 ==

=== 소수와의 관계 ===
1보다 큰 모든 [[자연수]]는 크게 세 가지로 분류된다:
* '''1''': 특별한 수로 따로 취급한다.
* '''[[소수]]''': 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 수 (2, 3, 5, 7, 11, 13...)
* '''합성수''': 1과 자기 자신 외에 다른 약수를 가지는 수 (4, 6, 8, 9, 10, 12...)

즉, 소수와 합성수는 서로 '''배타적'''인 관계다. 어떤 수가 소수면 합성수가 아니고, 합성수면 소수가 아니다. ~~당연한 얘기지만~~

=== 소인수분해 ===
모든 합성수는 [[소인수분해]]가 가능하다. 이것이 합성수의 가장 중요한 특징이다.

[[산술의 기본 정리]]에 의하면, 1보다 큰 모든 자연수는 소수들의 곱으로 '''유일하게''' 표현할 수 있다. 합성수의 경우 이 소인수분해에서 '''2개 이상의 소인수'''가 나타난다. (같은 소수가 여러 번 곱해지는 경우도 포함)

예시:
* <math>12 = 2^2 \times 3</math>
* <math>18 = 2 \times 3^2</math>
* <math>30 = 2 \times 3 \times 5</math>
* <math>100 = 2^2 \times 5^2</math>

=== 개수 ===
합성수는 '''무한히 많다'''. 이는 소수가 무한히 많다는 것보다 더 자명한데, 임의의 소수 <math>p</math>에 대해 <math>2p, 3p, 4p, \ldots</math>는 모두 합성수이기 때문이다.

재미있는 점은 합성수가 연속으로 나타나는 구간을 '''임의로 길게''' 만들 수 있다는 것이다. 예를 들어:
* <math>n! + 2, n! + 3, n! + 4, \ldots, n! + n</math>

위의 <math>(n-1)</math>개의 수는 모두 합성수다.<ref><math>n! + k</math>는 <math>k</math>로 나누어떨어지기 때문이다.</ref>