합성수[편집 / 원본 편집]
Composite Number
자연수 중에서 1보다 크고, 자기 자신과 1 이외의 약수를 가지는 수를 말한다.
쉽게 말해서 1도 아니고 소수도 아닌 자연수라고 생각하면 된다. 예를 들어 4, 6, 8, 9, 10, 12... 같은 수들이 모두 합성수다.
개요[편집 / 원본 편집]
합성수는 말 그대로 여러 수가 합성되어 만들어진 수라는 의미다. 즉, 1보다 큰 자연수들을 곱해서 만들 수 있는 수를 의미한다.
예를 들어:
- [math]\displaystyle{ 4 = 2 \times 2 }[/math]
- [math]\displaystyle{ 6 = 2 \times 3 }[/math]
- [math]\displaystyle{ 8 = 2 \times 2 \times 2 }[/math]
- [math]\displaystyle{ 9 = 3 \times 3 }[/math]
- [math]\displaystyle{ 12 = 2 \times 2 \times 3 }[/math]
이런 식으로 1이 아닌 자연수들의 곱으로 표현할 수 있다면 그 수는 합성수다.
정의[편집 / 원본 편집]
자연수 [math]\displaystyle{ n \gt 1 }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ 1 \lt a \lt n }[/math]인 자연수 [math]\displaystyle{ a }[/math]가 존재하여 [math]\displaystyle{ n }[/math]을 나누어떨어뜨릴 수 있을 때, [math]\displaystyle{ n }[/math]을 합성수라고 한다.
다르게 표현하면, 약수가 3개 이상인 자연수라고 할 수 있다. 예를 들어 6의 약수는 1, 2, 3, 6으로 4개이므로 합성수다.
특징[편집 / 원본 편집]
소수와의 관계[편집 / 원본 편집]
1보다 큰 모든 자연수는 크게 세 가지로 분류된다:
- 1: 특별한 수로 따로 취급한다.
- 소수: 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 수 (2, 3, 5, 7, 11, 13...)
- 합성수: 1과 자기 자신 외에 다른 약수를 가지는 수 (4, 6, 8, 9, 10, 12...)
즉, 소수와 합성수는 서로 배타적인 관계다. 어떤 수가 소수면 합성수가 아니고, 합성수면 소수가 아니다. 당연한 얘기지만
소인수분해[편집 / 원본 편집]
모든 합성수는 소인수분해가 가능하다. 이것이 합성수의 가장 중요한 특징이다.
산술의 기본 정리에 의하면, 1보다 큰 모든 자연수는 소수들의 곱으로 유일하게 표현할 수 있다. 합성수의 경우 이 소인수분해에서 2개 이상의 소인수가 나타난다. (같은 소수가 여러 번 곱해지는 경우도 포함)
예시:
- [math]\displaystyle{ 12 = 2^2 \times 3 }[/math]
- [math]\displaystyle{ 18 = 2 \times 3^2 }[/math]
- [math]\displaystyle{ 30 = 2 \times 3 \times 5 }[/math]
- [math]\displaystyle{ 100 = 2^2 \times 5^2 }[/math]
개수[편집 / 원본 편집]
합성수는 무한히 많다. 이는 소수가 무한히 많다는 것보다 더 자명한데, 임의의 소수 [math]\displaystyle{ p }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ 2p, 3p, 4p, \ldots }[/math]는 모두 합성수이기 때문이다.
재미있는 점은 합성수가 연속으로 나타나는 구간을 임의로 길게 만들 수 있다는 것이다. 예를 들어:
- [math]\displaystyle{ n! + 2, n! + 3, n! + 4, \ldots, n! + n }[/math]
위의 [math]\displaystyle{ (n-1) }[/math]개의 수는 모두 합성수다.[1]
예시[편집 / 원본 편집]
작은 합성수들[편집 / 원본 편집]
100 이하의 합성수는 다음과 같다:
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100
총 74개다. 즉, 100 이하의 자연수 중 74%가 합성수다. 1을 제외하면 소수는 25개뿐이므로, 작은 수에서도 이미 합성수가 소수보다 훨씬 많다는 것을 알 수 있다.
가장 작은 합성수[편집 / 원본 편집]
가장 작은 합성수는 4다. [math]\displaystyle{ 4 = 2 \times 2 }[/math]이므로 소인수분해가 가능하고, 약수가 1, 2, 4로 3개다.
2와 3은 소수이므로 합성수가 아니다. 1은 약수가 1개뿐이므로 소수도 합성수도 아니다.
특수한 합성수들[편집 / 원본 편집]
짝수 합성수[편집 / 원본 편집]
2를 제외한 모든 짝수는 합성수다. 2로 나누어떨어지기 때문이다. 따라서 4, 6, 8, 10, 12, ... 는 모두 합성수다.
가장 작은 합성수인 4도 짝수 합성수다.
홀수 합성수[편집 / 원본 편집]
짝수가 아닌 합성수도 당연히 존재한다. 가장 작은 홀수 합성수는 9다. [math]\displaystyle{ 9 = 3 \times 3 }[/math]이므로 합성수다.
그 다음 홀수 합성수는 15, 21, 25, 27, 33, 35, 39, ... 순서다.
고도 합성수[편집 / 원본 편집]
고도 합성수(Highly composite number)는 자기보다 작은 모든 양의 정수보다 약수를 많이 가지는 합성수를 말한다.
예시: 1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, ...
이들은 약수의 개수가 많아서 수학적으로나 실용적으로 유용하게 쓰인다. 60진법, 360도법 같은 게 괜히 생긴 게 아니다.
거의 소수[편집 / 원본 편집]
거의 소수(Semiprime)는 정확히 두 개의 소수의 곱으로 표현되는 합성수다. 예를 들어:
- [math]\displaystyle{ 4 = 2 \times 2 }[/math]
- [math]\displaystyle{ 6 = 2 \times 3 }[/math]
- [math]\displaystyle{ 9 = 3 \times 3 }[/math]
- [math]\displaystyle{ 10 = 2 \times 5 }[/math]
- [math]\displaystyle{ 14 = 2 \times 7 }[/math]
- [math]\displaystyle{ 15 = 3 \times 5 }[/math]
RSA 암호에서 매우 큰 거의 소수를 사용한다. 큰 수를 소인수분해하는 것이 어렵다는 점을 이용한 것이다.
관련 개념[편집 / 원본 편집]
완전수[편집 / 원본 편집]
완전수는 자기 자신을 제외한 약수들의 합이 자기 자신과 같은 수다. 예를 들어:
- [math]\displaystyle{ 6 = 1 + 2 + 3 }[/math]
- [math]\displaystyle{ 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 }[/math]
6은 합성수이면서 완전수다. 사실 알려진 모든 완전수는 합성수다. 1은 특별 취급되고 소수는 약수가 2개뿐이니까 당연하다.
과잉수와 부족수[편집 / 원본 편집]
여담[편집 / 원본 편집]
- 수학자들은 1을 소수에도 합성수에도 포함시키지 않는다. 만약 1을 소수로 치면 산술의 기본 정리에서 '유일성'이 깨지기 때문이다. 예를 들어 [math]\displaystyle{ 6 = 2 \times 3 = 1 \times 2 \times 3 = 1 \times 1 \times 2 \times 3 = \cdots }[/math] 이런 식으로 무한히 표현할 수 있게 된다.
- 골드바흐의 추측에 따르면 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 표현할 수 있다고 한다. 이것이 사실이라면 모든 짝수 합성수는 두 소수의 합이라는 뜻이 된다.
아직 증명은 안 됐지만
- 소수 정리에 의하면 [math]\displaystyle{ n }[/math] 이하의 소수 개수는 대략 [math]\displaystyle{ \frac{n}{\ln n} }[/math]개다. 이는 [math]\displaystyle{ n }[/math]이 커질수록 소수의 밀도가 점점 줄어든다는 의미이고, 반대로 합성수의 밀도는 점점 늘어난다는 의미다.
- 4는 [math]\displaystyle{ 2^2 }[/math]으로 표현되는 유일한 합성수인데, 2의 거듭제곱 중 합성수가 아닌 것은 2뿐이다.
2는 소수니까
- 쌍둥이 소수처럼 차이가 2인 소수 쌍은 무한히 많을 것으로 추측되지만, 차이가 2인 합성수 쌍은 확실히 무한히 많다. [math]\displaystyle{ (6n-2) }[/math]와 [math]\displaystyle{ (6n) }[/math]은 항상 합성수이기 때문이다.
관련 문서[편집 / 원본 편집]
분류[편집 / 원본 편집]
- ↑ [math]\displaystyle{ n! + k }[/math]는 [math]\displaystyle{ k }[/math]로 나누어떨어지기 때문이다.