미적분

1. 개요#

미적분은 미분적분의 줄임말로, 수학에서 변화를 구하는 것과 관련된 부분을 일컫는다.

2. 상세#

[math]\displaystyle{ f(x) }[/math]를 x에 대해 미분하면 [math]\displaystyle{ f'(x) }[/math]로 나타내며, [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]를 x에 대해 n번 미분한 함수는 [math]\displaystyle{ f^{(n)}(x) }[/math]로 나타낸다. 그러나 이런 표기법은 고등학교에서 배우지 않는다.

또한 y를 x에 대해 미분한 함수는 [math]\displaystyle{ \frac{dy}{dx} }[/math]라고 표기하는데, 이걸 라이프니츠 표기법이라 한다.

어떤 함수를 미분한 함수는 그 함수의 도함수라고 부른다.

3. 미분계수의 정의#

미분하는 것은 순간 변화를 구하는 것이다.

[math]\displaystyle{ f(x) }[/math]를 x에 대해 미분하는 경우 해당 함수의 도함수는 이렇게 나타낼 수 있다. [math]\displaystyle{ }[/math]

• [math]\displaystyle{ f'(x)=\lim_{x \rarr a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} }[/math]: 좌표가 각각 [math]\displaystyle{ (x,f(x)) }[/math], [math]\displaystyle{ (a,f(a)) }[/math]인 점을 잇는 선분의 기울기, 즉 이 점에서의 기울기라는 뜻이다.
• [math]\displaystyle{ f'(x)=\lim_{h \rarr 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} }[/math]: a+h를 x라고 하면, h는 x-a이기 때문에 이렇게 나타낼 수도 있다. 즉, 첫 번째 표기법에서 이 표기법을 유도할 수 있다.

4. 여러 가지 미분법#

f(x)를 x에 대해 미분할 때 기준.

[math]\displaystyle{ f(x) }[/math]	[math]\displaystyle{ f'(x) }[/math]	증명
[math]\displaystyle{ x^n }[/math]	[math]\displaystyle{ nx^{n-1} }[/math]	미분계수의 정의에 의해 [math]\displaystyle{ x^n }[/math]의 도함수는 [math]\displaystyle{ \lim_{x \rarr a}\frac{x^n-a^n}{x-a} }[/math]이다. 0으로 나누는 것은 금지되어 있으므로 해당 극한을 계산하면 [math]\displaystyle{ x^{n-1} + x^{n-2}a + x^{n-3}a^2 + ... + x^2a^{n-3} + xa^{n-2} + a^{n-1} }[/math]이다. 그러나 x는 a에 점점 가까워지고 있으므로 해당 극한에서 a를 x로 바꾸면 [math]\displaystyle{ x^{n-1} }[/math]항이 n개나 되며 그것을 합하면 된다.
[math]\displaystyle{ a^x }[/math]	[math]\displaystyle{ a^x \ln x }[/math]
[math]\displaystyle{ \ln x }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{x} }[/math]
[math]\displaystyle{ \sin x }[/math]	[math]\displaystyle{ \cos x }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos x }[/math]	[math]\displaystyle{ -\sin x }[/math]