지수 - 편집 역사

Gaon12: 문서 개선

2025-05-15T11:55:14Z

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	{{틀:수학 프로젝트}}		{{틀:수학 프로젝트}}



	<big><big><big><math>2^2 = 4</math></big></big></big>		<big><big><big><math>2^2 = 4</math></big></big></big>
	==의미==		== 지수란? ==
			지수란 어떤 수를 몇 번 곱할지 알려주는 숫자다. 쉽게 말해 <math>a^x</math>에서 <math>x</math>가 바로 지수. 이때 <math>a</math>는 '밑'이라고 부른다. 당연히 이런 걸 왜 배우나 싶겠지만 의외로 실생활에서 많이 쓰인다.
			=== 기본 개념 ===

	~~거듭 제곱을 한 횟수를 나타내는 숫자나 문자로, 보통 a의 x제곱에서 x에 해당하는 숫자나 문자를 지수라 한다~~.		<math>a^x</math>는 "<math>a</math>의 <math>x</math>제곱" 또는 "<math>a</math>를 <math>x</math>번 곱한다"라고 읽는다.
			예: <math>2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8</math> (2를 3번 곱함)
			예: <math>5^2 = 5 \times 5 = 25</math> (5를 2번 곱함)

	~~지수에는~~ 자연수~~, 정수 이외에도 루트와 같은 무리수와 [[실수(Real Number)]]까지 들어 갈 수 있다~~.~~<ref>다만 유리수까지는 고등학교 과정에서 배우지만, 실수까지 확장하는 것은 고등 과정 외의 과정이다~~.~~</ref>~~		== 다양한 지수의 종류 ==
			=== 자연수 지수 ===
			자연수 지수는 가장 기본적인 형태의 지수다. 숫자를 그냥 여러 번 곱하면 끝. 초등학교 때부터 배웠던 그 개념이 맞다.

	==~~지수가...=~~=		정의: <math>a^n = \underbrace{a \times a \times a \times \cdots \times a}_{n\text{번}}</math> (<math>a</math>를 <math>n</math>번 곱함)
	==~~=자연수인 경우===~~		예시:
			** <math>3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81</math>
			** <math>10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1000</math>

	* 이 경우에는 그냥 계산을 하면 된다.		=== 0 지수 ===
			0 지수는 특별한 경우다. 아무리 생각해도 0번 곱한다는 게 말이 안 되는 것 같지만, 수학자들이 정한 약속이다.

	<math>a^m = a ~~× a × a~~</math>~~···(a를 m번 곱한다.~~)		정의: <math>a^0 = 1</math> (단, <math>a \neq 0</math>)
	===~~정수인 경우=~~==		이유: 지수법칙에 따라 <math>a^m \div a^m = a^{m-m} = a^0 = 1</math>이기 때문. 억지로 끼워 맞춘 것 같지만 이렇게 정의해야 지수법칙이 모든 경우에 통용된다.
			예시: <math>7^0 = 1</math>, <math>100^0 = 1</math>

	* 지수가 음수인 경우와 음수인 경우로 나눈다.		=== 음수 지수 ===
			음수 지수는 양수 지수의 역수로 정의된다. 말 그대로 양수 지수의 반대 개념이라 생각하면 된다.

	====~~음수인 경우=~~===		정의: <math>a^{-n} = \frac{1}{a^n}</math> (단, <math>a \neq 0</math>)
			예시:
			** <math>2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0.125</math>
			** <math>10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0.01</math>

	* 절댓값만큼 제곱한 뒤, 역수를 취해준다.		=== 유리수 지수 ===
	~~예 : <math>a^ {-3}~~ = ~~\frac{ 1 }{ a^3 }</math>~~		유리수 지수는 제곱근과 자연수 지수의 조합으로 표현된다. 이쯤 되면 "왜 이런 걸 정의하나?"라는 의문이 들 수 있지만, 함수의 그래프를 부드럽게 연결하기 위해 필요하다.
	==~~==0인 경우=~~===

	* ~~밑이 0이 아닌 모든 수의 0제곱은 1이다~~.		정의: <math>a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^n}</math> (단, <math>a > 0</math> 일 때 항상 정의됨)
			분수 지수의 의미:
			** 분모 <math>m</math>은 "<math>m</math>제곱근"을 의미한다.
			** 분자 <math>n</math>은 "그 제곱근의 <math>n</math>제곱"을 의미한다.
			예시:
			** <math>4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2</math>
			** <math>8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4</math>
			** <math>27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3</math>

	~~<math>a^m÷a^m~~ = ~~a^{m-m}~~ = ~~a^0~~ = ~~1</math>~~		=== 무리수 지수 ===
	~~===유리수인 경우~~===		무리수 지수는 고등 과정을 넘어서는 개념이지만, 간단히 설명하자면:

	* 분모 부분은 제곱근, 분자부분은 지수 ~~부분으로 간다~~.		정의: 무리수 지수는 유리수 지수의 극한으로 정의된다. 대학교 과정에서 배우는 내용이다.
			예시: <math>2^{\sqrt{2}}</math>는 <math>\sqrt{2}</math>에 가까운 유리수 수열을 지수로 취한 값들의 극한이다.
			중요한 무리수 지수: <math>e^x</math> (자연지수함수). 대학 수학에서 정말 많이 등장하는 녀석이다.

	<math>a^{ \~~frac~~ { n } { m } } = \~~sqrt [ m ]~~{ a^n }</math>		== 지수법칙 ==
	==각주==		지수를 계산할 때 유용한 몇 가지 법칙이 있다. 이걸 외워두면 계산이 엄청 편해진다.
			곱셈 법칙: <math>a^m \times a^n = a^{m+n}</math>
			#* 예: <math>2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128</math>
			나눗셈 법칙: <math>a^m \div a^n = a^{m-n}</math> (단, <math>a \neq 0</math>)
			#* 예: <math>3^5 \div 3^2 = 3^{5-2} = 3^3 = 27</math>
			거듭제곱 법칙: <math>(a^m)^n = a^{m \times n}</math>
			#* 예: <math>(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64</math>
			밑이 같은 곱의 지수: <math>(a \times b)^n = a^n \times b^n</math>
			#* 예: <math>(2 \times 3)^2 = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36</math>
			밑이 같은 나눗셈의 지수: <math>\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}</math> (단, <math>b \neq 0</math>)
			#* 예: <math>\left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{2^3}{5^3} = \frac{8}{125}</math>
			== 실생활 응용 ==
			지수는 다양한 실생활 상황에서 활용된다. "이런 걸 왜 배우나" 싶었던 학생들에게 희소식.
			복리 계산: <math>P(1+r)^t</math> (원금 <math>P</math>, 이자율 <math>r</math>, 기간 <math>t</math>)
			인구 증가: <math>P_0 \times e^{kt}</math> (초기 인구 <math>P_0</math>, 성장률 <math>k</math>, 시간 <math>t</math>)
			방사성 붕괴: <math>N_0 \times e^{-\lambda t}</math> (초기량 <math>N_0</math>, 붕괴 상수 <math>\lambda</math>, 시간 <math>t</math>)
			컴퓨터 용량 단위: 2의 거듭제곱 (2ⁿ 바이트)
			#* 예: 2¹⁰ = 1024 바이트 = 1 킬로바이트(KB). 컴퓨터 사용자라면 익숙한 숫자일 것이다.

Gaon12: 순번 사용 제거

2019-12-06T00:18:07Z

순번 사용 제거

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	==의미==		==의미==

	# 거듭 제곱을 한 횟수를 나타내는 숫자나 문자		거듭 제곱을 한 횟수를 나타내는 숫자나 문자로, 보통 a의 x제곱에서 x에 해당하는 숫자나 문자를 지수라 한다.
	# 지수에는 [[실수(Real Number)]]까지 들어 갈 수 있다.<ref>다만 유리수까지는 고등학교 과정에서 배우지만, 실수까지 확장하는 것은 고등 과정 외의 과정이다.</ref>
			지수에는 자연수, 정수 이외에도 루트와 같은 무리수와 [[실수(Real Number)]]까지 들어 갈 수 있다.<ref>다만 유리수까지는 고등학교 과정에서 배우지만, 실수까지 확장하는 것은 고등 과정 외의 과정이다.</ref>

	==지수가...==		==지수가...==

2018년 10월 5일 (금) 07:17에 Admin_Old님의 편집

2018-10-05T07:17:19Z

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	~~좆ㄱ가온~~		{{틀:수학 프로젝트}}



			<big><big><big><math>2^2 = 4</math></big></big></big>
			==의미==

			# 거듭 제곱을 한 횟수를 나타내는 숫자나 문자
			# 지수에는 [[실수(Real Number)]]까지 들어 갈 수 있다.<ref>다만 유리수까지는 고등학교 과정에서 배우지만, 실수까지 확장하는 것은 고등 과정 외의 과정이다.</ref>

			==지수가...==
			===자연수인 경우===

			* 이 경우에는 그냥 계산을 하면 된다.

			<math>a^m = a × a × a</math>···(a를 m번 곱한다.)
			===정수인 경우===

			* 지수가 음수인 경우와 음수인 경우로 나눈다.

			====음수인 경우====

			* 절댓값만큼 제곱한 뒤, 역수를 취해준다.
			예 : <math>a^ {-3} = \frac{ 1 }{ a^3 }</math>
			====0인 경우====

			* 밑이 0이 아닌 모든 수의 0제곱은 1이다.

			<math>a^m÷a^m = a^{m-m} = a^0 = 1</math>
			===유리수인 경우===

			* 분모 부분은 제곱근, 분자부분은 지수 부분으로 간다.

			<math>a^{ \frac { n } { m } } = \sqrt [ m ]{ a^n }</math>
			==각주==

2018년 10월 5일 (금) 06:46에 imported>좆까씨발님의 편집

2018-10-05T06:46:48Z

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	~~{{틀:수학 프로젝트}}~~		좆ㄱ가온



	~~<big><big><big><math>2^2 = 4</math></big></big></big>~~
	~~==의미==~~

	~~# 거듭 제곱을 한 횟수를 나타내는 숫자나 문자~~
	# 지수에는 [[실수(Real Number)]]까지 들어 갈 수 있다.<ref>다만 유리수까지는 고등학교 과정에서 배우지만, 실수까지 확장하는 것은 고등 과정 외의 과정이다.</ref>

	~~==지수가...==~~
	~~===자연수인 경우===~~

	* 이 경우에는 그냥 계산을 하면 된다.

	~~<math>a^m = a × a × a</math>···(a를 m번 곱한다.)~~
	~~===정수인 경우===~~

	* 지수가 음수인 경우와 음수인 경우로 나눈다.

	~~====음수인 경우====~~

	* 절댓값만큼 제곱한 뒤, 역수를 취해준다.
	~~예 : <math>a^ {-3} = \frac{ 1 }{ a^3 }</math>~~
	~~====0인 경우====~~

	* 밑이 0이 아닌 모든 수의 0제곱은 1이다.

	~~<math>a^m÷a^m = a^{m-m} = a^0 = 1</math>~~
	~~===유리수인 경우===~~

	* 분모 부분은 제곱근, 분자부분은 지수 부분으로 간다.

	~~<math>a^{ \frac { n } { m } } = \sqrt [ m ]{ a^n }</math>~~
	~~==각주==~~

2018년 8월 2일 (목) 10:30에 imported>Gaon12님의 편집

2018-08-02T10:30:43Z

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	{{틀:수학 프로젝트}}		{{틀:수학 프로젝트}}



	<big><big><big><math>2^2 = 4</math></big></big></big>		<big><big><big><math>2^2 = 4</math></big></big></big>
			==의미==

	~~==의미==~~		# 거듭 제곱을 한 횟수를 나타내는 숫자나 문자
	# 거듭 제곱을 한 횟수를 나타내는 숫자나 문자~~<br/>~~
	# 지수에는 [[실수(Real Number)]]까지 들어 갈 수 있다.<ref>다만 유리수까지는 고등학교 과정에서 배우지만, 실수까지 확장하는 것은 고등 과정 외의 과정이다.</ref>		# 지수에는 [[실수(Real Number)]]까지 들어 갈 수 있다.<ref>다만 유리수까지는 고등학교 과정에서 배우지만, 실수까지 확장하는 것은 고등 과정 외의 과정이다.</ref>

	==지수가...==		==지수가...==
	===자연수인 경우===		===자연수인 경우===

	* 이 경우에는 그냥 계산을 하면 된다.		* 이 경우에는 그냥 계산을 하면 된다.

	<math>a^m = a × a × a</math>···(a를 m번 곱한다.)		<math>a^m = a × a × a</math>···(a를 m번 곱한다.)
			===정수인 경우===

	~~===정수인 경우===~~
	* 지수가 음수인 경우와 음수인 경우로 나눈다.		* 지수가 음수인 경우와 음수인 경우로 나눈다.

	====음수인 경우====		====음수인 경우====

	* 절댓값만큼 제곱한 뒤, 역수를 취해준다.		* 절댓값만큼 제곱한 뒤, 역수를 취해준다.
	예 : <math>a^ {-3} = \frac{ 1 }{ a^3 }</math>		예 : <math>a^ {-3} = \frac{ 1 }{ a^3 }</math>
	====0인 경우====		====0인 경우====

	* 밑이 0이 아닌 모든 수의 0제곱은 1이다.		* 밑이 0이 아닌 모든 수의 0제곱은 1이다.

	<math>a^m÷a^m = a^{m-m} = a^0 = 1</math>		<math>a^m÷a^m = a^{m-m} = a^0 = 1</math>
	===유리수인 경우===		===유리수인 경우===

	* 분모 부분은 제곱근, 분자부분은 지수 부분으로 간다.		* 분모 부분은 제곱근, 분자부분은 지수 부분으로 간다.

	<math>a^{ \frac { n } { m } } = \sqrt [ m ]{ a^n }</math>		<math>a^{ \frac { n } { m } } = \sqrt [ m ]{ a^n }</math>
	==각주==		==각주==

2018년 8월 2일 (목) 10:29에 imported>Gaon12님의 편집

2018-08-02T10:29:06Z

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{{틀:수학 프로젝트}}

<big><big><big><math>2^2 = 4</math></big></big></big>

==의미==
# 거듭 제곱을 한 횟수를 나타내는 숫자나 문자<br/>
# 지수에는 [[실수(Real Number)]]까지 들어 갈 수 있다.<ref>다만 유리수까지는 고등학교 과정에서 배우지만, 실수까지 확장하는 것은 고등 과정 외의 과정이다.</ref>

==지수가...==
===자연수인 경우===
* 이 경우에는 그냥 계산을 하면 된다.
<math>a^m = a × a × a</math>···(a를 m번 곱한다.)

===정수인 경우===
* 지수가 음수인 경우와 음수인 경우로 나눈다.
====음수인 경우====
* 절댓값만큼 제곱한 뒤, 역수를 취해준다.
예 : <math>a^ {-3} = \frac{ 1 }{ a^3 }</math>
====0인 경우====
* 밑이 0이 아닌 모든 수의 0제곱은 1이다.
<math>a^m÷a^m = a^{m-m} = a^0 = 1</math>
===유리수인 경우===
* 분모 부분은 제곱근, 분자부분은 지수 부분으로 간다.
<math>a^{ \frac { n } { m } } = \sqrt [ m ]{ a^n }</math>
==각주==