미적분 편집하기 (부분)

=== 미분계수의 정의 ===
미분하는 것은 '''순간변화율'''을 구하는 것이다. 이는 [[중학교]]·고등학교에서 배우는 평균변화율의 극한으로 이해할 수 있다.

함수 <math>f(x)</math>의 구간 <math>[a, x]</math>에서의 평균변화율은 다음과 같다.
:<math>\frac{f(x)-f(a)}{x-a}</math>

이는 좌표평면 위의 두 점 <math>(a,f(a))</math>, <math>(x,f(x))</math>를 잇는 직선(할선)의 기울기를 의미한다. 여기서 x를 a에 한없이 가깝게 보내면, 이 할선은 점점 점 <math>(a,f(a))</math>에서의 '''접선'''에 가까워진다. 이 극한값을 '''x=a에서의 미분계수'''라 하고, 함수 <math>f(x)</math>가 모든 점에서 미분계수를 가질 때 그 미분계수들을 모아놓은 함수를 도함수 <math>f'(x)</math>라 한다.

*<math>f'(a)=\lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}</math>: 좌표가 각각 <math>(x,f(x))</math>, <math>(a,f(a))</math>인 두 점을 잇는 직선의 기울기의, x가 a로 다가갈 때의 극한값. 즉 <math>x=a</math>에서의 접선의 기울기라는 뜻이다.
*<math>f'(a)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}</math>: <math>x=a+h</math>로 치환하면 <math>h=x-a</math>이므로 위 식에서 곧바로 유도되는 동치인 표현이다. h가 0에 한없이 가까워진다는 것은 x가 a에 한없이 가까워진다는 것과 같은 의미이다.

두 표기법은 완전히 같은 대상을 가리키지만, 실전 문제풀이에서는 상황에 따라 편한 쪽을 골라 쓰면 된다. 참고로 함수 <math>f(x)</math>가 <math>x=a</math>에서 미분가능하려면 반드시 그 점에서 '''연속'''이어야 한다(단, 역은 성립하지 않는다. 대표적인 반례가 <math>f(x)=|x|</math>로, <math>x=0</math>에서 연속이지만 미분은 불가능하다).