소수(Prime Number) 편집하기 (부분)

== 특징 ==

=== 1은 소수가 아니다 ===
'''1은 소수가 아니다.''' 이것은 매우 중요한 사실이다.

과거에는 1을 소수로 취급하기도 했지만, 현대 수학에서는 1을 소수에서 제외한다. 그 이유는 다음과 같다:

* [[산술의 기본 정리]]의 유일성이 깨진다. 만약 1을 소수로 치면 <math>6 = 2 \times 3 = 1 \times 2 \times 3 = 1 \times 1 \times 2 \times 3 = \cdots</math>처럼 무한히 많은 방법으로 소인수분해할 수 있게 된다.
* 대부분의 정리에서 "1을 제외한 소수"라고 매번 언급해야 한다. ~~귀찮잖아~~
* 소수에 관한 많은 정리와 공식이 1을 포함하면 성립하지 않는다.

따라서 소수의 정의에 "<math>p > 1</math>"이라는 조건이 반드시 들어간다.

=== 무한성 ===
'''소수는 무한히 많다.''' 이는 [[유클리드]]가 기원전 300년경에 증명한 정리다.

증명은 놀랍도록 간단하고 우아하다:
# 소수가 유한개라고 가정하자. 그 소수들을 <math>p_1, p_2, \ldots, p_n</math>이라고 하자.
# <math>N = p_1 \times p_2 \times \cdots \times p_n + 1</math>이라는 수를 만들자.
# <math>N</math>은 모든 소수 <math>p_i</math>로 나눈 나머지가 1이므로, 어떤 소수로도 나누어떨어지지 않는다.
# 그러면 <math>N</math> 자체가 소수이거나, <math>N</math>을 나누는 새로운 소수가 존재한다.
# 어느 쪽이든 처음 가정에 모순이다. 따라서 소수는 무한히 많다. ∎

~~2000년 넘게 현역인 증명~~

=== 가장 작은 소수 ===
가장 작은 소수는 '''2'''다. 그리고 2는 '''유일한 짝수 소수'''이기도 하다.

2를 제외한 모든 짝수는 2로 나누어떨어지므로 [[합성수]]다. 따라서 3 이상의 모든 소수는 홀수다.

2가 유일한 짝수 소수라는 점은 많은 정리와 문제에서 예외 케이스로 다뤄진다. ~~2는 항상 특별 취급~~

=== 소수의 분포 ===
소수는 불규칙하게 나타나지만, 그 분포에는 일정한 패턴이 있다.

[[소수 정리]](Prime Number Theorem)에 의하면, <math>n</math> 이하의 소수 개수 <math>\pi(n)</math>은 다음과 같이 근사할 수 있다:

<math>\pi(n) \sim \frac{n}{\ln n}</math>

이는 <math>n</math>이 커질수록 소수의 '''밀도'''가 점점 줄어든다는 의미다. 예를 들어:
* 100 이하: 25개 (25%)
* 1,000 이하: 168개 (16.8%)
* 10,000 이하: 1,229개 (12.29%)
* 100,000 이하: 9,592개 (9.592%)

평균적으로 <math>n</math> 근처에서 다음 소수까지의 간격은 약 <math>\ln n</math> 정도다.