소수(Prime Number) 편집하기 (부분)

== 특수한 소수들 ==

=== 메르센 소수 ===
[[메르센 소수]](Mersenne prime)는 <math>2^p - 1</math> 꼴의 소수를 말한다. (단, <math>p</math>도 소수여야 함)

예시:
* <math>2^2 - 1 = 3</math>
* <math>2^3 - 1 = 7</math>
* <math>2^5 - 1 = 31</math>
* <math>2^7 - 1 = 127</math>

메르센 소수는 [[완전수]]와 밀접한 관련이 있다. 짝수 완전수는 모두 <math>2^{p-1}(2^p - 1)</math> 꼴이며, 여기서 <math>2^p - 1</math>은 메르센 소수다.

알려진 가장 큰 소수들은 대부분 메르센 소수다. 이들은 특별한 구조 덕분에 소수 판별이 비교적 쉽기 때문이다.

=== 쌍둥이 소수 ===
[[쌍둥이 소수]](Twin prime)는 차이가 2인 소수 쌍을 말한다.

예시: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73)...

쌍둥이 소수가 무한히 많은지는 아직 '''증명되지 않았다'''. 이를 [[쌍둥이 소수 추측]]이라고 하며, 수론의 7대 난제 중 하나다. ~~언젠가는 풀리겠지~~

=== 페르마 소수 ===
[[페르마 소수]](Fermat prime)는 <math>2^{2^n} + 1</math> 꼴의 소수를 말한다.

알려진 페르마 소수는 단 5개뿐이다:
* <math>F_0 = 2^{2^0} + 1 = 3</math>
* <math>F_1 = 2^{2^1} + 1 = 5</math>
* <math>F_2 = 2^{2^2} + 1 = 17</math>
* <math>F_3 = 2^{2^3} + 1 = 257</math>
* <math>F_4 = 2^{2^4} + 1 = 65537</math>

페르마는 모든 <math>F_n</math>이 소수일 것이라고 추측했지만, [[오일러]]가 <math>F_5 = 641 \times 6700417</math>임을 보이며 반례를 찾았다. ~~페르마의 착각~~

페르마 소수는 [[정다각형의 작도]]와 관련이 있다. 정<math>n</math>각형이 자와 컴퍼스로 작도 가능한 필요충분조건은 <math>n = 2^k p_1 p_2 \cdots p_m</math> (단, <math>p_i</math>는 서로 다른 페르마 소수)이다.

=== 소피 제르맹 소수 ===
[[소피 제르맹 소수]]는 소수 <math>p</math>에 대해 <math>2p + 1</math>도 소수인 경우를 말한다.

예시: 2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131...

이 소수들은 [[페르마의 마지막 정리]] 증명 과정에서 중요한 역할을 했다.

=== 회문 소수 ===
회문 소수는 앞뒤로 읽어도 같은 소수를 말한다.

예시: 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929...

10진법 외에 다른 진법에서의 회문 소수도 연구된다.

=== 순환 소수 ===
[[순환 소수]](Circular prime)는 자릿수를 회전시켜도 모두 소수인 수를 말한다.

예시:
* 2, 3, 5, 7 (한 자리)
* 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97 (두 자리)
* 113, 131, 197, 199, 311, 337, 373, 719, 733, 919, 971, 991 (세 자리)

100만 이하에는 55개의 순환 소수가 있다.